余式定理和因式定理的概念

一、余式定理和因式定理的概念

1、余式定理

余式定理是指一个多项式$P(x)$除以一线性多项式$x-a$的余式是$R(x)$。

我们可以一般化余数定理。如果$\frac{P(x)}{M(x)}$的商式是$Q(x)$、余式是$R(x)$，那么$P(x)=$$M(x)Q(x)+$$R(x)$。其中$R(x)$的次数会小于$M(x)$的次数。

2、因式定理

在代数中，因式定理是关于一个多项式的因式和零点的定理。这是一个余式定理的特殊情形。因式定理指出，一个多项式$f(x)$有一个因式$(ax-b)$当且仅当$f\left(\frac{b}{a}\right)=0$。

3、多项式的因式分解

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式中已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部分，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：

（1）先设法找出多项式$f$的一个零点$a$。

（2）利用因式定理确认$(x-a)$是多项式$f(x)$的因式。

（3）计算多项式$g(x)=\frac{f(x)}{x-a}$。

（4）$f(x)=0$中，所有满足$x≠a$的根$x$都是方程式$g(x)=0$的根。因为$g(x)$的多项式阶数较$f(x)$要小。因此要找出多项式$g$的零点可能会比较简单。

（5）欲使$A=BQ+R$成立，就令除式$BQ=0$，则被除式$A=R$能使此方程式成立则被除式=（商式）（除式）+余式。

二、余式定理的相关例题

多项式$f(x)$除以$x+3$余1，除以$x+5$余3，则多项式$f(x)$除以$(x+3)$$(x+5)$所得的余式为

A．$-x-2$ B．$3x+4$

C．$x-2$ D．$2x+4$

答案：A

解析：设$f(x)=$$(x+3)$$(x+5)$$q(x)+$$(ax+b)$由已知可知，$f(x)=$$(x+3)$$q_1(x)+1$，即$f(-3)=1$，$f(x)=(x+5)q_1(x)+3$， 即$f(-5)=3$，因此$\begin{cases}f(-3)=-3a+b=1,\\f(-5)=-5a+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-2,\end{cases}$即余式为$-x-2$。故选A。