三角形都有哪些心？都有什么特征

田松湖南省 怀化市2018/10/26 7:47:40

1、重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
2、外心
三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
3、内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。
4、垂心三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
三角形只有一个垂心
5、旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
五心的性质
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.

宋甜甜辽宁省 海城市2018/10/26 7:47:40

重心，垂心，内心，外心

赵欣山东省 淄博市2018/10/26 7:47:40

1 外心 外接圆圆心，为三边中垂线交点 ,到三个顶点距离相等

2 内心 内切圆圆心，为三角角分线交点，到三边的距离相等

3 重心 三条中线的交点

4 垂心 三条高线的交点

5 旁心 一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等 一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

1.内心：设I为三角形的内心，BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于K，则AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a

利用性质：KI=KB=KC 还有相似三角形，角平分线定理即可搞定

2.外心：设三角形ABC的三条边长，外接圆半径，面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc/4S

正弦定理啊。。。面积公式S=1/2absinC sinC=c/2R

3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小..这个用解析法可以。。还可以用复数，向量。。

都是配方法。。。纯几何不知道

4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

证明Euler线要用到的经典辅助线啊。。。

5.旁心：三角形ABC是三角形DEF的垂足三角形，且三角形DEF的外接圆半径R等于三角形ABC的直径2r（D.E.F为旁心）

去看看九点圆定理

6.设O,G,H,I分别为三角形ABC的外心，重心，垂心和内心，R,r分别为外接，内切圆半径，则

IO^2=R^2-2Rr(欧拉公式）

r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

第一个用圆幂定理+三角表示。。两三步搞定

第二个用面积公式。。再和差化积积化和差整理得

1.内心：设I为三角形的内心，BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于K，则AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a

2.外心：设三角形ABC的三条边长，外接圆半径，面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc/4S

3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小

4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

5.旁心：三角形ABC是三角形DEF的垂足三角形，且三角形DEF的外接圆半径R等于三角形ABC的直径2r（D.E.F为旁心）

6.设O,G,H,I分别为三角形ABC的外心，重心，垂心和内心，R,r分别为外接，内切圆半径，则

IO^2=R^2-2Rr(欧拉公式）

r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)