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反函数与原函数的关系是什么

2024-09-06 16:50:34文/刘冬晴

反函数与原函数的关系是:反函数的导数等于反函数导数的倒数,在一些高等学科的数学中,我们经常会接触到原函数,原函数比较适用于金融领域和数学领域,与其相对的就是反函数,而反函数经常用作于解析几何学或者代数领域的题目。

反函数与原函数的关系是什么

反函数与原函数的关系

原函数:

是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x),如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx,则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

例如:sinx是cosx的原函数。

若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数。

故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。

反函数:

一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^-1(x)。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f(y)或者y=f^-1(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标“?1”指的是函数幂,但不是指数幂。

反函数的性质

1、函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射。

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

3、大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。

4、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。

5、严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数。

6、反函数是相互的且具有唯一性。

7、定义域、值域相反对应法则互逆(三反)。

8、反函数的导数关系:如果x=f(y)在开区间I上严格单调,可导,且f'(y)≠0,那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导。

9、y=x的反函数是它本身。

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