反函数与原函数的关系是什么
2022-10-01 12:23:56文/王馨晨在一般情况下,如果x与y关于某种对应关系函数f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为y=f -1(x)。反函数就是把原函数的x,y互换,原函数与反函数的导数互为倒数。
原函数与反函数的定义
(一)原函数:
原函数的定义:对于一个定义在某区间的已知函数f(x),如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx,则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的例子:∫cosxdx=sinx
原函数的定理:函数f(x)在某区间上连续的话,那么f(x)在这个区间里必会存在原函数。这是属于充分不必要条件,还被叫做是原函数存在定理,要是函数有原函数的话,那它的原函数为无穷多个。
(二)反函数:
反函数的定义:设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f﹣¹(x) 。反函数y=f ﹣¹(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
反函数的例子:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
反函数性质:函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x对称;函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射的。
原函数与反函数的关系
1、函数的反函数,本身也是一个函数,由反函数的定义,原来函数也是其反函数的反函数,故函数的原来函数与反函数互称为反函数。
2、反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域。
3、偶函数必无反函数。
4、单调函数必有反函数。
5、奇函数如果有反函数,其反函数也是奇函数。
6、原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。
7、互为反函数的图象间的关系。
8、函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,关于这一关系的理解要注意以下三点:
函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴,纵坐标轴为y轴,而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的;
(a,b)在y=f(x)的图象上<=>(b,a)在y=f-1(x)的图象上;
若y=f(x)存在反函数y=f-1(x),则函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的充分必要条件为f(x)=f-1(x),即原、反函数的解析式相同。
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