高三网 试题库 作文库 大学库 专业库

当前位置: 高三网 > 高中数学 > 正文

反函数的二阶导数

2023-04-25 09:04:36文/张哲

反函数二阶导数公式是y''=-y'*d²x/dy²。二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导,反函数是指将原函数的自变量与因变量调换位置后得到的函数。

反函数的二阶导数

什么是反函数

反函数是对一个定函数做逆运算的函数。一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1)(x),

反函数x=f^(-1)(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具代表性的反函数是对数函数与指数函数。

反函数存在定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。

证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。而由于f的严格单增性,对D中任一x'<x,都有y'x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2,设y1<y2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1<y2矛盾。因此x1<x2,即当y1<y2时,有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

一阶导数和二阶导数的区别

一阶导数是自变量的变化率,二阶导数就是一阶导数的变化率,也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0,则递增;一阶倒数小于0,则递减;一阶导数等于0,则不增不减。

二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0,图象为凹;二阶导数小于0,图象为凸;二阶导数等于0,不凹不凸。而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0,图象为凹;二阶导数小于0,图象为凸;二阶导数等于0,不凹不凸。

推荐阅读

点击查看 高中数学 更多内容