三角形的面积和周长

一、三角形的面积和周长

1、三角形

在同一平面内，且不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接所得的封闭的内角和为180度的几何图形叫做三角形，符号为“$△$”。组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，每两条边的交点叫做顶点，组成的角叫做三角形的内角。

2、三角形的三边关系

三角形任意两条边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3、三角形的周长

三角形周长是指围成三角形三边长的和。

三角形的周长=三角形三边之和。

4、三角形的面积

三角形面积是指一个三角形通过测量和计算而得的平面面积。

几种常见的求三角形面积的方法：

（1）已知三角形一边及该边上的高

$S=\frac{1}{2}ah$（$h$表示边$a$上的高）。

（2）已知三角形的两边及其夹角

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A$。

（3）已知三角形的三边

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$。

（4）已知三角形的三边及内切圆半径

$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（$r$表示三角形内切圆的半径）。

（5）已知三角形的三边及外接圆半径

$S=\frac{abc}{4R}$（$R$表示三角形外接圆的半径）。

（6）已知三角形的三角及外接圆半径

$S=2R^2\sin A\sin B\sin C$（$R$表示三角形外接圆的半径）。

（7）数量积形式的三角形面积公式

在$△ABC$中，设$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol b$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol a$，且$〈\boldsymbol a,\boldsymbol b〉=θ$，则$S=$$\frac{1}{2}|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin θ=$$\frac{1}{2}\sqrt{|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a·\boldsymbol b)^2}$。

（8）坐标形式的三角形面积公式

在$△ABC$中，设$\overrightarrow{CB}=$$\boldsymbol a=$$(a_1,a_2)$，$\overrightarrow{CA}=$$\boldsymbol b=$$(b_1,b_2)$，则$S=$$\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|$。

二、三角形的面积的相关例题

将一个三角形按$1∶3$缩小得到的三角形的面积是原三角形面积的。

A．$\frac{1}{3}$ B．$\frac{1}{6}$ C．$\frac{1}{9}$

答案：C

解析：三角形的面积=底×高×$\frac{1}{2}$，三角形按$1∶3$缩小，底缩小到原来的$\frac{1}{3}$，高缩小到原来的$\frac{1}{3}$，所以面积缩小到原来的$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，故选C。