三角形的分类和三边关系

一、三角形的分类和三边关系

1、三角形

在同一平面内，且不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接所得的封闭的内角和为180度的几何图形叫做三角形，符号为“$△$”。组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，每两条边的交点叫做顶点，组成的角叫做三角形的内角。

2、三角形的三边关系

三角形任意两条边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3、三角形的分类

（1）按角分

锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

直角三角形：有一个角是直角的三角形。

钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

（2）按边分

普通三角形：三条边都不相等的三角形。

等腰三角形：两条边相等的三角形。相等的边称为腰，另一条边称为底（两腰的夹角叫做顶角，底边和两腰所夹的角叫做底角，等腰三角形两底角相等）。

等边三角形：三条边都相等的三角形，每个角都是60度。

4、三角形的周长和面积

（1）三角形的周长=三角形三边之和。

（2）三角形的面积

①已知三角形一边及该边上的高

$S=\frac{1}{2}ah$（$h$表示边$a$上的高）。

②已知三角形的两边及其夹角

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A$。

③已知三角形的三边

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$。

④已知三角形的三边及内切圆半径

$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（$r$表示三角形内切圆的半径）。

⑤已知三角形的三边及外接圆半径

$S=\frac{abc}{4R}$（$R$表示三角形外接圆的半径）。

⑥已知三角形的三角及外接圆半径

$S=2R^2\sin A\sin B\sin C$（$R$表示三角形外接圆的半径）。

⑦数量积形式的三角形面积公式

在$△ABC$中，设$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol b$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol a$，且$〈\boldsymbol a,\boldsymbol b〉=θ$，则$S=$$\frac{1}{2}|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin θ=$$\frac{1}{2}\sqrt{|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a·\boldsymbol b)^2}$。

⑧坐标形式的三角形面积公式

在$△ABC$中，设$\overrightarrow{CB}=$$\boldsymbol a=$$(a_1,a_2)$，$\overrightarrow{CA}=$$\boldsymbol b=$$(b_1,b_2)$，则$S=$$\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|$。

二、三角形的分类的相关例题

三角形中最小的一个角是50°，按角分类，这是一个___三角形。

A．锐角 B．直角 C．钝角

答案：A

解析：三角形中最小的一个角是50°，则另外两个角一定小于90°，所以，这是一个锐角三角形，故选A。