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伴随矩阵的逆矩阵等于什么 伴随矩阵的定义

2022-11-11 16:16:45文/苏思楠
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根据 |A|A1=A*,有(A1)*= |A1|(A1)1=A/|A|,而(A*)1= (|A|A1)1 = (A1)1/|A| = A/|A|,故矩阵逆的伴随矩阵等于伴随矩阵的逆,即(A1)*=(A*)1。

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1伴随矩阵

在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数,对多维矩阵也存在这个规律。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。

逆矩阵

设A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵。

伴随定义:设X和U是两个欧几里得空间,若A是X到U的线性映射,则A的转置将U映射到X,为了和一般意义的转置加以区别,我们将欧几里得空间X到U的线性映射A的转置称为A的伴随,记做:A*,完整定义为:任意u∈U,L(x)=(Ax,u)。

伴随矩阵的特征值和特征向量:

当矩阵的阶数等于一阶时,伴随矩阵为一阶单位方阵。矩阵的秩等于列秩,秩小于n表示矩阵的列向量组线性相关,则其齐次线性方程组有非零解。由Cramer法则,行列式为0。

一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念,如果二维矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。

伴随矩阵可以用来求逆矩阵,逆矩阵等于伴随矩阵乘行列式的倒数,所以行列式必须不等于0。求逆矩阵有两种方法。一是利用伴随矩阵乘以这个矩阵的行列式的倒数。

二是将这个矩阵A扩充为A;E然后对这个增广矩阵做初等变换,让左边的A变为E,此时右边的E则变成了A的逆。

2伴随矩阵三大公式

公式一:AA^* = A^*A = |A|E

这是伴随矩阵定义式,也是判定方式。原矩阵同阶的可交换方阵;和原矩阵相乘结果是行列式值和单位矩阵之积。

公式二:A-1=1/|A| * A*

逆矩阵的另外一种定义方式。

公式三:对于可逆矩阵有公式A^* = |A|A^-1

可以求出可逆矩阵的伴随矩阵。

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