均值不等式是什么意思 有哪些公式
2024-06-01 09:32:14文/刘冬晴均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式的公式
1、调和平均数:Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )
2、几何平均数:Gn=n√(a_1 a_2…a_n )
3、算术平均数:An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n
4、平方平均数:Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)
5、均值定理: 如果
属于正实数那么且仅当时 等号成立。
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +,当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式:设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))
则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D⑴≤D⑵
由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的证明:因为 a 〉0 , b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。
均值不等式证明
用数学归纳法的证明
第一步:等价变换,分子增加又减去同一项,巧妙处是这一项指数的选取,正好是要证明的右端。
第二步:(1)把前面(a1+a2+...+ak)用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替,(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k),两边乘k:
a1+a2+...+ak≥k(a1a2...ak)^(1/k),
因此≥成立。
(2)难点是a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
其实也很好证明(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1),看成是k-1个数,加上a(k+1),也是k个数。
根据上面假设,n=k时,(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k)是成立的,
注意!!!a1,a2,...,ak只是正数的代表,不限于什么正数,换成k个数:a(k+1),和k-1个(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1),这个不等式也是成立的!代换一下,就成了:
a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
第三步:
前面两项提取k之后成为:
(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
使用前面一开始证明的n=2时的结果,a1+a2≥2√(a1a2)(当成公式,不是当成数)
(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
≥2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)
=2{(a1a2...aka(k+1))^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k+1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)]]}^(1/2)
=2(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)]
然后代入即可。
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