正定矩阵一定是实对称矩阵吗
2024-02-21 10:31:34文/鲁映彤正定矩阵不一定是对称的。正定矩阵在实数域上是对称矩阵，在复数域是厄米特矩阵(共轭对称)。对于一个具体的实对称矩阵，通常用来判断其正定性的是矩阵各阶的主子式是否大于零；对于抽象矩阵，给定矩阵的正定性，利用标准型、特征值和充要条件证明相关矩阵的正定性。
1正定矩阵定义
（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
2正定矩阵都是对称矩阵吗
不一定是对称的。
正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。
因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。
如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1 -1;1 1] ，A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩阵，一般不讨论他的正定性。
例如：
A=[1 1;-1,1]
这个矩阵满足对于任意实非零向量向量x=(x1,x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。
如果一个矩阵A是正定的，那么对称矩阵B=(A+A^T）/2也是正定的，这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。
对于任意对称矩阵B，我们可以对其进行卡氏分解。
对于复系数矩阵，我们有B=(A+A*）/2为正定矩阵。
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