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n次根号下n的极限

2021-02-09 08:45:07文/陈宇航

lim(n→+∞)n^(1/n)=1。n的阶乘的开n次方极限为无穷大，具体可以以n的阶乘的开n次方为分母，让分子为零，整体扩大n次得n的阶乘分之一，及解得极限为无穷大。

n次根号下n的极限

n次根号n的极限怎么求？

以下n^(1/n)表示n的1/n次方,即n的n次算术根。

解:当n>1时,显然

n^(1/n)-1>0.

令n^(1/n)-1=t,则t>0,由二项式定理得

n=(1+t)^n

=C(n,0)t^0+C(n,1)t^1+C(n,2)t^2+......+C(n,n)t^n

>C(n,2)t^2

=n(n-1)t^2/2.

因此

2>(n-1)t^2

从而

t0,

n^(1/n)-1<√2/√(n-1),

lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0,

由数列极限的迫敛性得

lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0

即

lim(n→+∞)n^(1/n)=1。

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