角的认识和表示方法

一、角的认识和表示方法

1、角的有关概念

（1）角的概念

①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

②角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，把起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。

（2）平角、周角

平角和周角

射线$OA$绕点$O$旋转，当终止位置$OB$和起始位置$OA$成一条直线时，所成的角叫做平角。当起始射线$OA$又回到起始位置时，所成的角叫做周角。

其中，1平角=180°，1周角=360°，所以1周角=2平角=4直角。

2、角的表示方法

射线$OA$绕点$O$旋转，终止位置为$OB$。

（1）用三个大写字母表示：$∠AOB$或$∠BOA$。

适用范围：任何情况都适用，表示顶点的字母必须写在中间。

（2）用一个大写字母表示：$∠O$。

适用范围：以这一点为顶点的角只有一个。

（3）用数字或希腊字母表示：$∠1$或$∠α$。

适用范围：任何情况都适用，在靠近顶点处加上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写希腊字母。

识别角的个数，可以先以某一射线为始边，按一定顺序（顺时针方向或逆时针方向）数出角的个数，然后依次以后面的射线为始边数出角的个数。从某点出发引出$n$条射线能组成$(n-1)+$$(n-2)+$$(n-3)+$$\cdots+$$3+2$$+1=$$\frac{n(n-1)}{2}$个角。

3、角的分类

锐角：$0°<α<90°$。

直角：$α=90°$。

钝角：$90°<α<180°$。

平角：$α=180°$。

周角：$α=360°$。

锐角<直角<钝角<平角<周角。

4、角的单位及角度制

（1）度量仪器：量角器。

（2）度量单位：度、分、秒。

把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作$1'$；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作$1″$。即$1°=60′$，$1′=60″$，$1′=$$\left(\frac{1}{60}\right)°$，$1″=$$\left(\frac{1}{60}\right)′$。

5、角的比较与运算

（1）角的比较

度量法：比较角的大小，可先用量角器分别量出每个角的度数，然后按照度数来比较角的大小。

叠合法：把两角叠合在一起比较大小。用这种方法比较两个角的大小，一定要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同侧。

（2）角的平分线

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

6、余角和补角

（1）余角

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。

（2）余角的性质

同角（等角）的余角相等。

（3）补角

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。

（4）补角的性质

同角（等角）的补角相等。

7、方位角和方向角

（1）方位角

从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角。取值范围为0°到360°，比如正东方向就是方位角为90°，正西方向就是方位角为270°。

（2）方向角

方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。有时，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角。

二、角的认识的相关例题

下列说法正确的是___

A．一个锐角的余角比这个角的补角小90°

B．如果一个角有补角，那么这个角必是钝角

C．若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1、∠2、∠3互为补角

D．如果$∠α$和$∠β$互为余角，$∠β$与$∠θ$互为余角，那么$∠α$与$∠θ$互为余角

答案：A

解析：A．锐角的余角比这个角的补角小90°，所以A选项正确；B．90°的补角为90°，所以B选项错误；C．当两个角的和为180°，则这两个角互补，所以C选项错误；D．如果$∠α$和$∠β$互为余角，$∠β$与$∠θ$互为余角，那么$∠α$与$∠θ$相等，所以D选项错误。故选A。