2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)
数学
本试卷共10页,19小题,满分150分.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知
,则
( )
A. 0 B. 1 C.
D. 2
2. 已知命题p:
,
;命题q:
,
,则( )
A. p和q都是真命题 B.
和q都是真命题
C. p和
都是真命题 D.
和
都是真命题
3. 已知向量
满足
,且
,则
( )
A.
B.
C.
D. 1
4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并部分整理下表
亩产量 | [900,950) | [950,1000) | [1000,1050) | [1100,1150) | [1150,1200) |
频数 | 6 | 12 | 18 | 24 | 10 |
据表中数据,结论中正确的是( )
A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5. 已知曲线C:
(
),从C上任意一点P向x轴作垂线段
,
为垂足,则线段
中点M的轨迹方程为( )
A.
(
) B.
(
)
C.
(
) D.
(
)
6. 设函数
,
,当
时,曲线
与
恰有一个交点,则
( )
A.
B.
C. 1 D. 2
7. 已知正三棱台
的体积为
,
,
,则
与平面ABC所成角的正切值为( )
A.
B. 1 C. 2 D. 3
8. 设函数
,若
,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D. 1
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9. 对于函数
和
,下列正确
有( )
A.
与
有相同零点 B.
与
有相同最大值
C.
与
有相同的最小正周期 D.
与
的图像有相同的对称轴
10. 抛物线C:
准线为l,P为C上的动点,过P作
的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则( )
A. l与
相切
B
当P,A,B三点共线时,
C. 当
时,
D. 满足
的点
有且仅有2个
11. 设函数
,则( )
A
当
时,
有三个零点
B. 当
时,
是
的极大值点
C. 存在a,b,使得
为曲线
的对称轴
D. 存在a,使得点
为曲线
的对称中心
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 记
为等差数列
的前n项和,若
,
,则
________.
13. 已知
为第一象限角,
为第三象限角,
,
,则
_______.
14. 在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有________种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是________.

四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
.
(1)求A.
(2)若
,
,求
的周长.
16. 已知函数
.
(1)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若
有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
17. 如图,平面四边形ABCD中,
,
,
,
,
,点E,F满足
,
,将
沿EF对折至
,使得
.

(1)证明:
;
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
18. 某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若
,
,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设
,
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
(ii)为使得甲、乙,所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
19. 已知双曲线
,点
在
上,
为常数,
.按照如下方式依次构造点
,过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
,令
为
关于
轴的对称点,记
的坐标为
.
(1)若
,求
;
(2)证明:数列
是公比为
的等比数列;
(3)设
为
的面积,证明:对任意的正整数
,
.
2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)
数学
本试卷共10页,19小题,满分150分.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
【12题答案】
【答案】95
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. 24 ②. 112
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】(1)
(2)
【16题答案】
【答案】(1)
(2)
【17题答案】
【答案】(1)证明见解析
(2)
【18题答案】
【答案】(1)
(2)(i)由甲参加第一阶段比赛;(i)由甲参加第一阶段比赛;
【19题答案】
【答案】(1)
,
(2)证明见解析 (3)证明见解析

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