绝密★启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设
,则
( )
A.
B.
C. 10 D. 
2. 集合
,则
( )
A.
B.
C.
D. 
3. 若实数
满足约束条件
,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D. 
4. 等差数列
的前
项和为
,若
,
,则
( )
A.
B.
C. 1 D. 2
5. 已知双曲线的两个焦点分别为
,点
在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A
4 B. 3 C. 2 D. 
6. 设函数
,则曲线
在
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D. 
7. 函数
在区间
的大致图像为( )
A
B. 
C.
D. 
8
已知
,则
( )
A.
B.
C.
D. 
9. 已知向量
,则( )
A. “
”是“
”的必要条件 B. “
”是“
”的必要条件
C. “
”是“
”的充分条件 D. “
”是“
”的充分条件
10. 设
是两个平面,
是两条直线,且
.下列四个命题:
①若
,则
或
②若
,则
③若
,且
,则
④若
与
和
所成的角相等,则
其中所有真命题的编号是( )
A
①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④
11. 在
中内角
所对边分别为
,若
,
,则
( )
A.
B.
C.
D. 
12. 已知b是
的等差中项,直线
与圆
交于
两点,则
的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
的展开式中,各项系数的最大值是______.
14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为
和
,母线长分别为
和
,则两个圆台的体积之比
______.
15
已知
,
,则
______.
16. 有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值,
为取出的三个球上数字的平均值,则
与
差的绝对值不超过
的概率是______.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
| 优级品 | 合格品 | 不合格品 | 总计 |
甲车间 | 26 | 24 | 0 | 50 |
乙车间 | 70 | 28 | 2 | 100 |
总计 | 96 | 52 | 2 | 150 |
(1)填写如下列联表:
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有
的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率
,设
为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(
)
附:

| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
18. 记
为数列
的前
项和,且
.
(1)求
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前
项和为
.
19. 如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,
,
,
,
为
的中点.

(1)证明:
平面
;
(2)求二面角
的正弦值.
20. 设椭圆
的右焦点为
,点
在
上,且
轴.
(1)求
的方程;
(2)过点
的直线与
交于
两点,
为线段
的中点,直线
交直线
于点
,证明:
轴.
21. 已知函数
.
(1)当
时,求
的极值;
(2)当
时,
恒成立,求
的取值范围.
(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系
中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出
的直角坐标方程;
(2)设直线l:
(
为参数),若
与l相交于
两点,若
,求
的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23. 实数
满足
.
(1)证明:
;
(2)证明:
.
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注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】A
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】C
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
【13题答案】
【答案】5
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】64
【16题答案】
【答案】
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
【17题答案】
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【18题答案】
【答案】(1)
(2)
【19题答案】
【答案】(1)证明见详解;
(2)
【20题答案】
【答案】(1)
(2)证明见解析
【21题答案】
【答案】(1)极小值为
,无极大值.
(2)
(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
【22题答案】
【答案】(1)
(2)
[选修4-5:不等式选讲]
【23题答案】
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析