2023四川成都七中高三三诊-(理科)数学模拟试题(含答案)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1. 已知集合
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
2. 已知复数
,则
(A)
(B)1 (C)
(D)2
3. 设函数
为奇函数,当
时,
则
(A)
(B)
(C)1 (D)2
4. 已知单位向量
的夹角为
,则
(A)3 (B)7 (C)
(D)
5. 已知双曲线
的渐近线方程为
,则双曲线的离心率是
(A)
(B)
(C)
(D)
6. 在等比数列
中,
则“
”是“
”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是

(A)
(B)
(C)
(D)
8. 已知
为两条不同直线,
为三个不同平面,下列命题:①若
则
;②若
则
;③若
则
;④若
则
.其中正确命题序号为
(A)②③ (B)②③④ (C)①④ (D)①②③
9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为
则该数列的第8项为
(A)99 (B)131 (C)139 (D)141
10. 已知

则
(A)
(B)
(C)
(D)
11. 过正方形
的顶点
作直线
,使得
与直线
所成的角均为
,则这样的直线
的条数为
(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 4
12. 已知
是椭圆
上一动点,
,则
的最大值是
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.
13.已知数列
的前
项和为
且
则
14. 已知实数
满足线性约束条件
,则目标函数
的最大值是
15. 如图是一种圆内接六边形
,其中
且
则在圆内随机取一点,则此点取自六边形
内的概率是
16. 若指数函数
且
与三次函数
的图象恰好有两个不同的交点,则实数
的取值范围是
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.(12分)在
中,内角
的对边分别为
已知
(1)求角
的大小;(2)若
求
的面积.
18.(12分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果:得分在
评定为“优”,奖励3面小红旗;得分在
评定为“良”,奖励2面小红旗;得分在
评定为“中”,奖励1面小红旗;得分在
评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图:
(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数;
(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级,再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为
,求
的分布列与数学期望
.
19.( 12分)如图,在四棱锥
中,
(1)证明:
平面
;(2)若
且
,
为线段
上一点,且
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.( 12分)已知函数
(1)证明:当
时,
;(2)若存在
使得对任意的
都有
成立.求
的值.
21.(12分)已知点
是抛物线
上的一点,其焦点为点
且抛物线
在点
处的切线
交圆
于不同的两点
.(1)若点
求
的值;(2)设点
为弦
的中点,焦点
关于圆心
的对称点为
求
的取值范围.
请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.
22.( 10分)选修
:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
).在以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线
的极坐标方程是
.(1)求曲线
的极坐标方程;(2)若射线
与曲线
相交于
两点,求
的值.
23.(10分)选修
:不等式选讲 已知
且
函数
在
上的最小值为
(1)求
的值; (2)若
恒成立,求实数
的最大值.
成都七中2020届高三三诊模拟
数 学(理科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.B; 2.A; 3.C; 4.D; 5.A; 6.A; 7.B; 8.C; 9.D; 10.B; 11.C; 12.A.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.8; 14.15; 15.
; 16.
三、解答题(共70分)
17. 解:(1)由正弦定理知
,又
所以
于是
因为
所以
6分
(2)因为
由余弦定理得
即
又
所以
故
的面积为
12分
18.解:(1)得分
的频率为
;得分
的频率为
;
得分
的频率为
;
所以得分
的频率为
设班级得分的中位数为
分,于是
,解得
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为
分.
5分
(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为
又班级总数为
于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为
.
分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为
由题意可得
的所有可能取值为

9分
所以
的分布列为

所以
的数学期望
12分
19.解:(1)因为
,
,所以
于是
又
且
平面
平面
,
所以
平面
5分
(2)因为
,所以
如图所示,在平面
内过点
作
轴垂直于
,又由(1)知
平面
,于是分别以
所在直线为
轴建
立空间直角坐标系
于是
因为
,于是
所以

设平面
的法向量为
于是
即
取
得
设直线
与平面
所成角为
,则
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
12分
20.解:(1)令
则
于是
在
单调递增,所以
即
5分
(2)
令
当
时,由(1)知
则
(i)当
时,于是
,从而
故
在
严格单调递增.其中
9分
(ii)当
时,
则
(用到了
在
单调递增与
)
于是
,故
在
严格单调递减.
11分
综上所述,
在
严格单调递减,在
严格单调递增.
因为
所以
所以
12分
21.解:设点
,其中
因为
所以切线
的斜率为
于是切线
(1)因为
于是切线
故圆心
到切线
的距离为
于是
5分
(2)联立
得
设
则

又
于是
于是
又
的焦点
于是
故
9分
令
则
于是
因为
在
单调递减,在
单调递增.
又当
时,
;当
时,
;
当
时,
所以
的取值范围为
12分
22.解:(1)消去参数
得
将
代入得
即
所以曲线
的极坐标方程为
5分
(2)法1:将
代入
得
,
设
则
于是
10分
法2:
与曲线
相切于点

由切割线定理知
10分
23.解:(1)
.
当
时,函数
单调递减;当
时,函数
单调递增.
所以
只能在
上取到.当
时,函数
单调递增.
所以
5分
(2)因为
恒成立,且
,
所以
恒成立即
.
由(1)知
,于是
当且仅当
时等号成立即
所以
,故实数
的最大值为
10分