三角形边角关系和三角形内角的三角函数关系式

一、三角形边角关系和三角形内角的三角函数关系式

1、在三角形中有

（1）大边对大角、大角对大边；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即$△ABC$中，$∠A>∠B \Leftrightarrow a>b \Leftrightarrow \sin A>\sin B$。

（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（3）$A+B+C=π$。

（4）三角形内角的三角函数关系式

①$\sin A=\sin {(B+C)}$，$\cos A=-\cos (B+C)$，$\tan A=-\tan (B+C)$。

②$\sin \frac{A}{2}$=$\cos \frac{B+C}{2}$，$\cos \frac{A}{2}=\sin \frac{B+C}{2}$。

③$\sin 2A$=$-\sin (2B+2C)$，$\cos 2A=\cos (2B+2C)$，$\tan 2A$=$-\tan (2B+2C)$。

④$\sin A+\sin B+\sin C$=$4\cos\frac{A}{2}$$\cos \frac{B}{2}$$\cos \frac{C}{2}$，$\tan A+\tan B+\tan C$=$\tan A$$\tan B$$\tan C$。

⑤$\sin 2A$+$\sin 2B$+$\sin 2C$=4$\sin A$$\sin B$$\sin C$，$\cos 2A$+$\cos 2B$+$\cos 2C$=-1-4$\cos A$$\cos B$$\cos C$。

2、在直角三角形中有

（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）在直角三角形中，两个锐角互余。

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

（4）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

（5）${\rm Rt}△ABC$中，$∠BAC=90°$，$AD$是斜边$BC$上的高，则有定理如下：

① $AD^2$=$BD$·$DC，$

② $AB^2$=$BD$·$BC$，

③ $AC^2$=$CD$·$BC$，

④$AB$·$AC$=$AD$·$BC$，

⑤直角三角形的外接圆的半径$R=\frac{1}{2}BC$，

⑥直角三角形的内切圆的半径$r$=$\frac{1}{2}(AB+AC-BC)$或$r$=$\frac{AB·AC}{AB+BC+CA}$，

⑦等腰直角三角形三边之比为1∶1∶$\sqrt{2}$。

二、三角形边角关系的相关例题

已知$α$是三角形的一个内角，且$\sin α+\cos α$=$\frac{2}{3}$，则此三角形是

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

答案：C

解析：由题设可知$α$是三角形的一个内角，则$\sin α$>0，将$\sin α$+$\cos α$=$\frac{2}{3}$两边平方可得1+2$\sin α\cos α$=$\frac{4}{9}$，即$\sin α\cos α$=$-\frac{5}{18}$<0$\Rightarrow$$\cos α$<0 ， 所以$\frac{π}{2}<α<π$，即该三角形是钝角三角形，故选C。