概率公式和贝叶斯公式

一、概率公式和贝叶斯公式

1、概率的加法公式

①若事件$A$与事件$B$互斥，则$P$（$A$∪$B$）=$P$（$A$）+$P$（$B$）。

②若事件$A$与事件$B$互为对立事件，则$A$∪$B$ 为必然事件，$P$（$A$∪$B$）=1，$P$（$A$）=1-$P$（$B$）。

当一个事件的概率不易求出，但其对立事件的概率容易求出时，可运用此公式，即间接法求概率。

2、已知两个事件$A$，$B$的概率分别为$P$（$A$），$P$（$B$），那么有如下结论：

（1）$A$，$B$中至少有一个发生，其概率为$P$（$A$∪$B$）。

若$A$，$B$互斥，则有$P$（$A$∪$B$）=$P$（$A$）+$P$（$B$）。

若$A$，$B$相互独立，则有$P$（$A$∪$B$）=1-$P(\overline{A})P(\overline{B})$或$P$（$A$∪$B$）=$P(A)+P(B)-P(AB)$。

（2）$A$ ，$B$都发生，其概率为$P$（$AB$）。

若$A$，$B$互斥，则有$P$（$AB$）=0。

若$A$，$B$相互独立，则有$P$（$AB$）=$P$（$A$）$P$（$B$）。

（3）$A$ ，$B$都不发生，其概率为$P(\overline{A}\overline{B})$。

若$A$，$B$互斥，则$P(\overline{A}\overline{B})$=1-$[P(A)+P(B)]$。

若$A$，$B$相互独立，则有$P(\overline{A}\overline{B})$=$P(\overline{A})P(\overline{B})$。

（4）$A$ ，$B$恰有一个发生，其概率为$P(A\overline{B}∪\overline{A}B)$。

若$A$，$B$互斥，则有$P(A\overline{B}∪\overline{A}B)$=$P$（$A$）+$P$（$B$）。

若$A$，$B$相互独立，则有$P(A\overline{B}∪\overline{A}B)$=$P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)$。

（5）$A$，$B$中至多有一个发生，其概率为$P(\overline{A}\overline{B}∪A\overline{B}∪\overline{A}B)$。

若$A$，$B$互斥，则$P(\overline{A}\overline{B}∪A\overline{B}∪\overline{A}B)$=1。

若$A$，$B$相互独立，则$P(\overline{A}\overline{B}∪A\overline{B}∪\overline{A}B)$=1-$P$（$A$）$P$（$B$）。

3、条件概率公式：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$(在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率)。

4、全概率公式：$P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A_i)P(B|A_i)}$，$i$=1,2,$\cdots,n$。

5、贝叶斯公式：$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum\limits_{k=1}^{n}{P(A_k)P(B|A_k)}}$，$i$=1,2,$\cdots,n$。

二、概率公式的相关例题

已知随机事件$A，B$发生的概率满足条件$P(A∪B)=\frac{3}{4}$,某人猜测事件$\overline{A}∩\overline{B}$发生，则此人猜测正确的概率为

A．1B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{1}{4}$D．0

答案：C

解析：事件$\overline{A}$∩$\overline{B}$与事件$A$∪$B$是对立事件，则$P$($\overline{A}$∩$\overline{B}$)=1-$P$($A$∪$B$)=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，故选：C。