2018甘肃高考理科数学试题及答案解析【Word真题试卷】
2018-06-10 11:53:54文/李木子
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合,则中元素的个数为
A.9 B.8 C.5 D.4
3.函数的图像大致为
4.已知向量,满足,,则
A.4 B.3 C.2 D.0
5.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为
A. B. C. D.
6.在中,,,,则
A. B. C. D.
7.为计算,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入
A.
B.
C.
D.
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
A. B. C. D.
9.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
10.若在是减函数,则的最大值是
A. B. C. D.
11.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则
A. B.0 C.2 D.50
12.已知,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率
为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.若满足约束条件 则的最大值为__________.
15.已知,,则__________.
16.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45°,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12分)
设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
20.(12分)
如图,在三棱锥中,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函数.
(1)若,证明:当时,;
(2)若在只有一个零点,求.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为
(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
参考答案:
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A
7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D
二、填空题
13. 14.9 15. 16.
三、解答题
17. (12分)
解:(1)设的公差为d,由题意得.
由得d=2.
所以的通项公式为.
(2)由(1)得.
所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.
18.(12分)
解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
解:(1)由题意得,l的方程为.
设,
由得.
,故.
所以.
由题设知,解得(舍去),.
因此l的方程为.
(2)由(1)得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即.
设所求圆的圆心坐标为,则
解得或
因此所求圆的方程为或.
20.(12分)
解:(1)因为,为的中点,所以,且.
连结.因为,所以为等腰直角三角形,
且,.
由知.
由知平面.
(2)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.
由已知得取平面的法向量.
设,则.
设平面的法向量为.
由得,可取,
所以.由已知得.
所以.解得(舍去),.
所以.又,所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
21.(12分)
【解析】(1)当时,等价于.
设函数,则.
当时,,所以在单调递减.
而,故当时,,即.
(2)设函数.
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.
(i)当时,,没有零点;
(ii)当时,.
当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增.
故是在的最小值.
①若,即,在没有零点;
②若,即,在只有一个零点;
③若,即,由于,所以在有一个零点,
由(1)知,当时,,所以.
故在有一个零点,因此在有两个零点.
综上,在只有一个零点时,.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
【解析】(1)曲线的直角坐标方程为.
当时,的直角坐标方程为,
当时,的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.
又由①得,故,于是直线的斜率.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
【解析】(1)当时,
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
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